Logarithmusgleichungen Schritt für Schritt lösen (Beispiele)

Um eine Logarithmusgleichung zu lösen, nutze jedes Mal dieselbe Routine: Fasse die Logarithmen mit den Logarithmusregeln zu einem zusammen, schreibe die Gleichung in Exponentialform um, löse nach x auf und prüfe deine Antwort dann in der ursprünglichen Gleichung. Die Prüfung ist keine Option – das Zusammenfassen kann Antworten liefern, die richtig aussehen, aber tatsächlich ungültig sind. Die entscheidende Beziehung ist einfach: log_b(x) = y bedeutet genau dasselbe wie bʸ = x. Also ist log₂(3x − 4) = 3 in Wirklichkeit nur ein verkleidetes 2³ = 3x − 4, und die Lösung lautet x = 4. Diese Anleitung behandelt die drei Logarithmusregeln, die du brauchst, und danach fünf durchgerechnete Beispiele, die alle dieser Routine folgen.

Die 3 Logarithmusregeln, die du brauchst

Lerne zuerst diese drei Identitäten – jedes Beispiel unten nutzt mindestens eine davon.

1. Produktregel: log_b(M · N) = log_b(M) + log_b(N). Ein Logarithmus eines Produkts zerfällt in eine Summe von Logarithmen – z. B. log₂(8 · 4) = 3 + 2 = 5. Rückwärts gelesen fasst sie zwei Logarithmen zu einem zusammen, und genau das brauchen die Beispiele 2 und 3.

2. Quotientenregel: log_b(M / N) = log_b(M) − log_b(N). Ein Logarithmus eines Quotienten zerfällt in eine Differenz von Logarithmen – z. B. log(1.000 / 10) = 3 − 1 = 2.

3. Potenzregel: log_b(Mᵏ) = k · log_b(M). Ein Exponent im Logarithmus wandert als Faktor nach vorn – z. B. log(10⁴) = 4 · 1 = 4.

Schließlich die eine Beziehung, die Logarithmen in einfache Algebra verwandelt: log_b(x) = y bedeutet genau dasselbe wie bʸ = x. Sobald eine Gleichung in dieser Exponentialform steht, ist der Logarithmus verschwunden und du löst ganz normal weiter.

Diese Umwandlung ist die Stelle, an der die meisten Logarithmusgleichungen gewonnen oder verloren werden, also übe das Hin- und Herwechseln zwischen den beiden Formen, bis es sich automatisch anfühlt. Wenn dich die Potenzen ausbremsen, prüft der Potenzrechner Werte wie 2³ = 8 und 10³ = 1.000 sofort.

Logarithmusgleichungen lösen: 5 durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: In Exponentialform umwandeln – log₂(3x − 4) = 3

Ein einzelner Logarithmus, der einer Zahl gleicht: Wandle ihn direkt in Exponentialform um.

1. In Exponentialform umschreiben. log₂(3x − 4) = 3 bedeutet 2³ = 3x − 4.
2. Die Potenz vereinfachen. 2³ = 8, also 8 = 3x − 4.
3. Die lineare Gleichung lösen. 4 addieren: 12 = 3x, dann durch 3 teilen: x = 4.
4. Den Definitionsbereich prüfen. Das Argument muss positiv sein: 3(4) − 4 = 8 > 0 ✓.

Antwort: x = 4. Probe zur Sicherheit: log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. ✓

Beispiel 2: Mit der Produktregel zusammenfassen – log(x) + log(x − 3) = 1

Dabei bedeutet log die Basis 10; fasse die beiden addierten Logarithmen zuerst zu einem zusammen.

1. Mit der Produktregel zusammenfassen. log(x) + log(x − 3) = log(x(x − 3)), also log(x(x − 3)) = 1.
2. In Exponentialform umwandeln. log(x(x − 3)) = 1 bedeutet 10¹ = x(x − 3), also 10 = x(x − 3).
3. Zu einer quadratischen Gleichung umstellen. x² − 3x = 10 wird zu x² − 3x − 10 = 0.
4. Faktorisieren und lösen. (x − 5)(x + 2) = 0 ergibt die Kandidaten x = 5 und x = −2.
5. Den Definitionsbereich prüfen. Die ursprüngliche Gleichung braucht x > 0 UND x − 3 > 0, also x > 3. Nur x = 5 erfüllt das; verwerfe x = −2.

Antwort: x = 5. Nachprüfen: log(5) + log(2) = log(10) = 1. ✓

Beachte, wo die eigentliche Arbeit passierte: beim quadratischen Schritt. Wenn dich das Faktorisieren von x² − 3x − 10 = 0 ausbremst, zeigt der Löser für quadratische Gleichungen die Faktorisierungsschritte für jede quadratische Gleichung, die du eingibst.

Beispiel 3: Die Falle mit der Scheinlösung – log₂(x) + log₂(x − 2) = 3

Zwei Kandidaten werden auftauchen – aber nur einer überlebt.

1. Mit der Produktregel zusammenfassen. log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂(x(x − 2)), also log₂(x(x − 2)) = 3.
2. In Exponentialform umwandeln. log₂(x(x − 2)) = 3 bedeutet 2³ = x(x − 2), also 8 = x(x − 2).
3. Umstellen. x² − 2x = 8 wird zu x² − 2x − 8 = 0.
4. Faktorisieren und lösen. (x − 4)(x + 2) = 0 ergibt die Kandidaten x = 4 und x = −2.
5. Jeden Kandidaten in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung testen. Für x = 4: log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3 ✓, beide Argumente positiv. Für x = −2: Du bräuchtest log₂(−2) + log₂(−4) – Logarithmen von negativen Zahlen, die es nicht gibt. Verwerfe x = −2.

Antwort: x = 4. Hier ist der Grund, warum die Scheinlösung aufgetaucht ist: Das Zusammenfassen hat den Definitionsbereich erweitert. Der ursprüngliche Ausdruck braucht beide Argumente positiv, aber der zusammengefasste log₂(x(x − 2)) braucht nur ein positives Produkt – was auch stimmt, wenn beide Faktoren negativ sind, und genau so hat sich x = −2 eingeschlichen. Schritte nach dem Zusammenfassen liefern Kandidaten, keine bestätigten Lösungen, deshalb ist das Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung Pflicht.

Beispiel 4: Basiswechsel – 2 · log(x) = 6 lösen

Umgang mit einem Koeffizienten vor dem Logarithmus, plus die Basiswechsel-Formel zum Nachprüfen auf jedem Taschenrechner.

1. Den Logarithmus isolieren. Beide Seiten durch 2 teilen: log(x) = 3.
2. In Exponentialform umwandeln. log(x) = 3 bedeutet 10³ = x.
3. Auswerten. 10³ = 1.000, also x = 1.000.
4. Den Definitionsbereich prüfen. Das Argument x = 1.000 ist positiv – gültig.
5. Mit dem Basiswechsel nachprüfen. log_b(x) = log(x) / log(b) lässt dich jeden Logarithmus mit den log- oder ln-Tasten deines Taschenrechners auswerten: ln(1.000) ÷ ln(10) = 3 ✓. Die Formel behandelt auch unbequeme Basen, z. B. log₅(25) = ln(25) ÷ ln(5) = 2.

Antwort: x = 1.000. Probe: 2 · log(1.000) = 2 · 3 = 6 ✓.

Beispiel 5: Logarithmen auf beiden Seiten – log(2x + 1) = log(x + 7)

Dieselbe Basis auf beiden Seiten bedeutet, dass die Argumente gleich sein müssen.

1. Die Argumente gleichsetzen. 2x + 1 = x + 7.
2. Lösen. x subtrahieren: x + 1 = 7, dann 1 subtrahieren: x = 6.
3. Beide Argumente prüfen. Beide müssen in der ursprünglichen Gleichung positiv sein: 2(6) + 1 = 13 > 0 und 6 + 7 = 13 > 0 ✓.

Antwort: x = 6. Nachprüfen: log(13) = log(13) ✓. Die Abkürzung funktioniert nur, wenn die Logarithmen vollständig isoliert sind, einer pro Seite – der Grund, warum die früheren Beispiele zuerst zusammengefasst werden mussten.

Deine Antworten prüfen: der Schritt, der Scheinlösungen fängt

1. Setze den Kandidaten zurück in die ursprüngliche Gleichung ein (nicht in die zusammengefasste oder umgewandelte Version) und bestätige, dass beide Seiten gleich sind.
2. Bestätige, dass jedes Logarithmus-Argument positiv ist in der ursprünglichen Gleichung. Jedes negative Argument oder Null disqualifiziert den Kandidaten sofort.
3. Prüfe numerisch gegen mit dem kostenlosen Logarithmusrechner – gib den ursprünglichen Ausdruck mit deinem x-Wert ein und bestätige, dass sich jeder Logarithmus sauber auswerten lässt.

Häufige Fehler, die du vermeiden solltest

• Logarithmen wie gewöhnliche Zahlen zu teilen. log(a) / log(b) ist NICHT gleich log(a / b) – dieses Verhältnis ist ein Basiswechsel-Ausdruck: log(a) / log(b) = log_b(a). Die Quotientenregel gilt nur für den Logarithmus eines Quotienten: log(a / b) = log(a) − log(b).
• Den Definitionsbereich zu vergessen. Die Definitionsbereichsprüfung auszulassen und eine Scheinlösung zu akzeptieren ist der häufigste Fehler. Verlange immer: jedes Argument > 0, jede Basis > 0 und ≠ 1.
• Die Potenzregel falsch auf Summen anzuwenden. log(x + y) ist NICHT log(x) + log(y). Die Regeln gelten für Produkte, Quotienten und Potenzen – niemals für Summen oder Differenzen im Logarithmus.
• Die Basis bei der Umwandlung fallen zu lassen. log_b(x) = y wird zu bʸ = x, nicht zu yᵇ. Merke dir: „Die Basis hoch die Antwort ergibt das Argument.“
• Logarithmen über einer Addition aufzuspalten. log(3x) ist gleich log(3) + log(x), nicht x · log(3) – der Logarithmus spaltet das Produkt auf; er multipliziert niemals etwas.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der erste Schritt beim Lösen einer Logarithmusgleichung?

Mache den Logarithmus zu etwas, durch das du „hindurchsehen“ kannst. Ein einzelner isolierter Logarithmus wandelt sich direkt in Exponentialform um: log_b(x) = y wird zu bʸ = x. Mehrere Logarithmen werden zuerst zu einem zusammengefasst (Produkt-, Quotienten- oder Potenzregel) und dann umgewandelt. Notiere den Definitionsbereich (jedes Argument > 0) von Anfang an, damit du ungültige Antworten später verwirfst.

Warum tauchen beim Lösen von Logarithmusgleichungen Scheinlösungen auf?

Weil das Zusammenfassen den Definitionsbereich erweitert. In log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 müssen beide Argumente positiv sein, aber zusammengefasst als log₂(x(x − 2)) = 3 muss nur das Produkt positiv sein – was auch stimmt, wenn beide Faktoren negativ sind. Teste jeden Kandidaten in der ursprünglichen Gleichung; verwerfe jeden, der ein Argument zu null oder negativ macht.

Kann das Argument eines Logarithmus negativ sein?

Nein. Für Logarithmen reeller Zahlen muss das Argument strikt positiv sein, und die Basis positiv und nicht gleich 1. Deshalb sind Definitionsbereichsprüfungen wichtig: x = −2 kann die umgewandelte quadratische Gleichung erfüllen und trotzdem ungültig sein, weil es dich zwingen würde, log₂(−2) auszuwerten.

Was ist die Basiswechsel-Formel, und wann nutze ich sie?

log_b(x) = log(x) / log(b), wobei die Logarithmen auf der rechten Seite in jeder bequemen Basis stehen – meist Basis 10 oder e. Nutze sie, um Logarithmen mit Basen auszuwerten oder zu prüfen, die deinem Taschenrechner fehlen, z. B. log₅(25) = ln(25) ÷ ln(5) = 2.

Wie kann ich meine Antwort schnell prüfen?

Setze x in die ursprüngliche Gleichung ein, bestätige, dass beide Seiten übereinstimmen und jedes Argument positiv ist. Für eine numerische Gegenprobe gib den Ausdruck in den kostenlosen Logarithmusrechner ein – er wertet Logarithmen in jeder Basis sofort aus, sodass das Prüfen von x = 1.000 in 2 · log(x) = 6 nur Sekunden dauert.

Logarithmusgleichungen zu lösen läuft auf eine wiederholbare Gewohnheit hinaus: die Logarithmusregeln anwenden, in Exponentialform umwandeln, die Algebra lösen und immer den Definitionsbereich prüfen. Arbeite die fünf Beispiele mit Stift und Papier durch, ändere dann in jedem eine Zahl und löse erneut. Um Antworten schnell zu prüfen – oder mit ungewöhnlichen Basen umzugehen – nutze den kostenlosen Logarithmusrechner. Und wenn dich die einfache Algebra am Ende jedes Beispiels stolpern lässt, behandelt unsere Anleitung zum Lösen linearer Gleichungen sie Schritt für Schritt.