Mit Polynomen arbeiten
Polynome sind die Arbeitstiere der Algebra: Summen von Potenztermen wie 4x³ − x + 9. Der Grad – der höchste Exponent – sagt dir die Form des Graphen und die maximale Anzahl der Wurzeln.
Arithmetik mit Polynomen
Addieren und Subtrahieren ist nur das Zusammenfassen gleichartiger Terme über beide Polynome hinweg. Multiplizieren heißt, jeden Term auszumultiplizieren – FOIL ist einfach der Spezialfall mit 2 Termen dieser allgemeinen Regel.
Wurzeln jagen
Der Satz über rationale Nullstellen grenzt die Suche ein: Jede rationale Wurzel sieht aus wie p/q, wobei p den konstanten Term und q den Leitkoeffizienten teilt. Teste die Kandidaten – jeder Treffer ist eine echte Wurzel.
Beispiel: Synthetische Division durch (x − 1)
Teile P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 durch (x − 1). Schreibe die Koeffizienten 1, −6, 11, −6 und nimm den Testwert 1:
- Herunterziehen der 1 → mit 1 multiplizieren, zu −6 addieren → −5.
- Wiederholen: −5 mit 1 multiplizieren, zu 11 addieren → 6.
- Fertig: 6 mit 1 multiplizieren, zu −6 addieren → 0.
Der Rest ist 0, also ist x = 1 eine Wurzel, und der Quotient x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) enthüllt den Rest: P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3), mit den Wurzeln 1, 2 und 3.
Das Endverhalten lesen
Der Leitkoeffiziententerm steuert beide Enden des Graphen. Ein gerader Grad mit positivem Leitkoeffizienten (wie x⁴) steigt auf beiden Seiten; ein ungerader Grad (wie x³) fällt links und steigt rechts; ein negativer Leitkoeffizient dreht das um. Die Enden im Voraus zu kennen sagt dir, ob die gefundenen Wurzeln überhaupt alle sein können – ein Polynom ungeraden Grades muss die Achse mindestens einmal schneiden.
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