So funktioniert die Funktionsverkettung
Die Verkettung reiht Funktionen wie eine Produktionslinie aneinander: g verarbeitet x zuerst, dann verarbeitet f die Ausgabe von g. Die Schreibweise (f∘g)(x) liest sich «f von g von x», und die am weitesten rechts stehende Funktion wirkt immer zuerst.
Einsetzen, nicht multiplizieren
Der klassische Fehler ist, die Funktionen zu multiplizieren statt einzusetzen. Für f(x) = 2x + 1 und g(x) = x² ersetzt (f∘g)(x) jedes x in f durch x², das ergibt 2x² + 1 – nicht 2x³ + x².
Die Reihenfolge zählt
(g∘f)(x) für dasselbe Paar ist (2x+1)² = 4x² + 4x + 1 – völlig anders. Setze immer in der Reihenfolge ein, die die Schreibweise verlangt, von innen nach außen.
Beispiel: (f∘g)(3) auswerten
Behalte f(x) = 2x + 1 und g(x) = x². Um (f∘g)(3) zu finden, arbeite von innen nach außen:
- Werte die innere Funktion aus: g(3) = 3² = 9.
- Füttere dieses Ergebnis in f: f(9) = 2(9) + 1 = 19.
- Antwort: (f∘g)(3) = 19 – was zum zuerst Einsetzen passt: (f∘g)(x) = 2x² + 1, und 2(3²) + 1 = 19.
Achte auf den Definitionsbereich
Eine Verkettung ist nur definiert, wo beide Schritte funktionieren: x muss im Definitionsbereich von g sein, und g(x) muss im Definitionsbereich von f sein. Ist g(x) = √x und f(x) = 1/x, scheitert (f∘g)(x) = 1/√x bei x = 0, obwohl jede Funktion anderswo in Ordnung ist – g(0) = 0 landet außerhalb des Definitionsbereichs von f. Wenn der Rechner einen Ausdruck zurückgibt, prüfe diese zwei Kontrollpunkte, bevor du ihm traust.
Verkettung ist, wie Umkehrungen geprüft werden: Probier unseren Umkehrfunktion-Rechner oder vereinfache die eingesetzten Ausdrücke mit dem Algebrarechner.