Lineare Gleichungen Schritt für Schritt lösen (mit Beispielen)

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte (meist x genannt) nur in der ersten Potenz vorkommt – kein x², keine Quadratwurzeln. Wenn du diese sicher lösen kannst, hast du die Grundlage der gesamten Algebra freigeschaltet.

Das Ziel ist immer dasselbe: x auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren. Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen tun. Das ist das ganze Spiel.

Die Methode in 4 Schritten

1. Jede Seite vereinfachen – Klammern auflösen und gleichartige Terme zusammenfassen.
2. Die x-Terme auf eine Seite bringen – Terme auf beiden Seiten addieren oder subtrahieren.
3. Die Zahlen auf die andere Seite bringen – dieselbe Idee, umgekehrte Seite.
4. Teilen, um x zu isolieren – beide Seiten durch den Koeffizienten von x teilen.

Beispiel 1 (durchgerechnet): 2x + 5 = 13

Schritt 1: Nichts zu vereinfachen – gleich weiter.

Schritt 2: Der x-Term steht links bereits allein.

Schritt 3: 5 von beiden Seiten subtrahieren: 2x + 5 − 5 = 13 − 5 → 2x = 8.

Schritt 4: Beide Seiten durch 2 teilen: x = 8 ÷ 2 → x = 4.

Probe: Zurück einsetzen: 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ✓

Beispiel 2 (mit Brüchen): x/3 + 2 = 7

Schritt 3: 2 von beiden Seiten subtrahieren: x/3 = 5.

Schritt 4: Beide Seiten mit 3 multiplizieren: x = 15.

Probe: 15/3 + 2 = 5 + 2 = 7 ✓

Brüche machen vielen Angst, aber die Schritte sind identisch – den Nenner zu beseitigen (beide Seiten mit 3 zu multiplizieren) ist einfach Schritt 4 mit Multiplikation statt Division.

Beispiel 3 (x auf beiden Seiten): 5x − 3 = 2x + 9

Schritt 2: 2x von beiden Seiten subtrahieren: 3x − 3 = 9.

Schritt 3: 3 zu beiden Seiten addieren: 3x = 12.

Schritt 4: Durch 3 teilen: x = 4.

Probe: 5(4) − 3 = 17; 2(4) + 9 = 17 ✓

Häufige Fehler, die du vermeiden solltest

• Zu vergessen, eine Operation auf beiden Seiten anzuwenden. Wenn du links 5 subtrahierst, musst du rechts ebenfalls 5 subtrahieren.
• Vorzeichenfehler beim Verschieben von Termen. +2x auf die andere Seite zu bringen macht daraus −2x. Schreibe den Vorzeichenwechsel ausdrücklich auf, bis er automatisch sitzt.
• Nur einen Teil des Ausdrucks zu teilen. Bei (2x + 8) ÷ 2 werden BEIDE Terme geteilt: x + 4, nicht x + 8.
• Die Probe auszulassen. Dreißig Sekunden Einsetzen fängt die meisten Fehler ab – mache sie in Prüfungen immer.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine lineare Gleichung in einfachen Worten?

Eine Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt, wie 3x + 2 = 11. Ihr Graph ist immer eine Gerade.

Wie prüfe ich meine Antwort?

Setze deinen x-Wert zurück in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn beide Seiten gleich sind, ist deine Antwort richtig.

Was, wenn x auf beiden Seiten steht?

Sammle zuerst die x-Terme auf einer Seite und fahre dann wie gewohnt fort – siehe Beispiel 3 in dieser Anleitung.

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