Eine Umkehrfunktion finden
Umkehrfunktionen machen die Arbeit der jeweils anderen rückgängig. Ist Verdoppeln und dann Eins addieren f(x) = 2x + 1, subtrahiert die Umkehrung Eins und halbiert dann: f⁻¹(x) = (x−1)/2. Grafisch ist eine Umkehrung das Spiegelbild an der Geraden y = x.
Die Vertauschen-und-Lösen-Methode
- Schreiben: y = f(x).
- Vertauschen: jedes x mit y (und y mit x).
- Lösen: die neue Gleichung nach y auflösen – dieses y ist f⁻¹(x).
- Prüfen: durch Verketten: f(f⁻¹(x)) muss gleich x sein.
Beispiel: f(x) = 3x − 6 umkehren
- Schreiben: y = 3x − 6.
- Vertauschen: x = 3y − 6.
- Nach y lösen: 6 addieren → x + 6 = 3y, durch 3 teilen → y = (x + 6)/3.
- Prüfen: f(f⁻¹(x)) = 3((x + 6)/3) − 6 = x + 6 − 6 = x ✓. Die Verkettung fällt exakt auf x zusammen, also ist die Umkehrung bestätigt.
Wer bekommt eine Umkehrung?
Nur eineindeutige (injektive) Funktionen haben Umkehrungen: Keine zwei Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe teilen. Der Schnelltest ist der Horizontale-Geraden-Test – schneidet irgendeine waagerechte Gerade den Graphen zweimal, fällt die Funktion durch. Darum hat x² über allen reellen Zahlen keine einzige Umkehrung (teile sie auf x ≥ 0 auf, um das zu beheben), während ungerade Wurzeln wie ∛x überall in Ordnung sind.
Berühmte Umkehrpaare
Potenzen paaren sich mit Wurzeln, Exponentialfunktionen mit Logarithmen (e^x ↔ ln x), und 1/x ist seine eigene Umkehrung. Die Paare zu erkennen spart Algebra.
Prüfe eine Umkehrung, indem du beide Richtungen mit unserem Funktionsverkettungs-Rechner verkettest, oder löse den Vertauschungsschritt mit dem Algebrarechner.