So funktionieren Reihen-Konvergenztests
Eine unendliche Reihe Σa_n konvergiert, wenn sich ihre Partialsummen einer endlichen Zahl annähern – sonst divergiert sie. Kein einzelner Test behandelt jede Reihe, also bauten Mathematiker einen Werkzeugkasten. Die Strategie: Probier zuerst den billigsten Test und eskaliere nur, wenn er ergebnislos zurückkommt.
Die Test-Leiter
- n-tes-Glied-Kriterium: Geht a_n nicht → 0, divergiert die Reihe. (Es zu bestehen beweist nichts.)
- Geometrisch: Σar^(n−1) konvergiert genau dann, wenn |r| < 1, mit Summe a/(1−r).
- p-Reihe: Σ1/n^p konvergiert genau dann, wenn p > 1 – die harmonische Reihe (p = 1) divergiert bekanntermaßen.
- Quotientenkriterium: Geht |a_(n+1)/a_n| → L < 1, konvergiert sie; L > 1, divergiert sie; L = 1, ergebnislos.
- Wurzelkriterium: dieselbe Logik mit |a_n|^(1/n) – am besten für Terme mit n-ten Potenzen.
Reihen sind der Motor hinter Taylorentwicklungen – siehe unseren Taylorreihen-Rechner.