So funktionieren Logarithmen
Logarithmen sind Exponenten in umgekehrter Richtung. Wo 10³ = 1000 fragt «Was ist 10 hoch 3?», fragt log₁₀(1000) = 3 «10 hoch was ergibt 1000?» Jede Exponentialfrage hat eine spiegelbildliche Logarithmusfrage.
Die drei Logarithmengesetze
- Produkt: log(xy) = log x + log y
- Quotient: log(x/y) = log x − log y
- Potenz: log(x^n) = n · log x
Definitionsbereich-Regeln
Du kannst Logarithmen nur von positiven Zahlen nehmen, und die Basis muss positiv und ungleich 1 sein. Darum sind log(−5) und log₁(x) undefiniert – keine Potenz einer positiven Basis ergibt eine negative Zahl.
Beispiel: log₃(81) auswerten
- Als Potenz umformulieren: log₃(81) fragt «3 hoch was ist gleich 81?»
- Die Multiplikationen zählen: 3 × 3 × 3 × 3 = 81, also 81 = 3⁴.
- Die Antwort ablesen: log₃(81) = 4. Gib im Rechner Basis 3 und Wert 81 ein – oder nutze die Basiswechsel-Formel ln(81) ÷ ln(3) = 4 auf jedem Gerät.
Welche Basis wann?
Basis 10 treibt die Skalen an, mit denen Wissenschaftler riesige Bereiche komprimieren: pH, die Richterskala und Dezibel bewegen sich jeweils einen Schritt pro zehnfacher Änderung. Basis e (ln) ist die Sprache von Wachstum und Zerfall – Zinseszins, Halbwertszeit und Abkühlung vereinfachen sich mit natürlichen Logarithmen. Basis 2 gehört zur Informatik: log₂ sagt dir, wie viele Bits ein Wert braucht oder wie oft eine binäre Suche eine Liste halbieren kann. Wähle die Basis, die zum Problem passt, nicht die, die zufällig auf deinem Rechner ist.
Logarithmen machen Exponentialfunktionen rückgängig: Probier den Exponentenrechner oder berechne Potenzen direkt auf dem wissenschaftlichen Taschenrechner.