Trigonometrie-Grundlagen
Trigonometrie untersucht die Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten in Dreiecken. Für ein rechtwinkliges Dreieck leisten drei Verhältnisse die ganze Arbeit: sin θ = Gegenkathete/Hypotenuse, cos θ = Ankathete/Hypotenuse, tan θ = Gegenkathete/Ankathete – gemerkt mit der Eselsbrücke SOH-CAH-TOA.
Der Einheitskreis
Auf einem Kreis mit Radius 1 sind die Koordinaten jedes Winkels einfach (cos θ, sin θ). Die exakten Werte bei 30°, 45°, 60° und 90° kommen aus dem Halbieren gleichseitiger Dreiecke und Quadrate – merke dir diese vier, und du kannst den Rest mit Symmetrie herleiten. Die Tabelle oben listet jeden Standardwinkel.
Beispiel: Eine fehlende Seite finden
Eine 10-meter-Leiter lehnt in 65° zum Boden an einer Wand. Wie weit ist der Fuß von der Wand entfernt? Die Leiter ist die Hypotenuse, der Boden ist die Ankathete, und cos(65°) = Ankathete / 10:
- Wähle das Verhältnis: Wir kennen die Hypotenuse und wollen die Ankathete → Kosinus.
- Stelle die Gleichung auf: Ankathete = 10 × cos(65°).
- Auswerten: cos(65°) ≈ 0.4226, also Ankathete ≈ 4.23 meters. Die Tabelle oben listet sin, cos und tan für jeden Standardwinkel, damit du das Muster prüfen kannst.
Stattdessen den Winkel finden
Sind die Seiten bekannt und der Winkel fehlt, nutze die Umkehr-Trigonometrie: θ = sin⁻¹(Gegenkathete / Hypotenuse). Eine 5-meter-Rampe, die 3 meters steigt, trifft den Boden bei θ = sin⁻¹(3/5) ≈ 36.87°. Das ist der Schritt, den Geometrieschüler am häufigsten übersehen – der Rechner oben wertet sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹ direkt aus, in Grad oder Bogenmaß.
Grad vs. Bogenmaß
Bogenmaß misst Winkel über die Bogenlänge: Ein voller Kreis ist 2π Bogenmaß. Rechne um mit Bogenmaß = Grad × π/180. Analysis (Ableitungen von sin und cos, Taylorreihen) funktioniert nur im Bogenmaß sauber – siehe unseren Ableitungsrechner.