Rationale Ausdrücke vereinfachen
Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch aus Polynomen, und ihn zu vereinfachen funktioniert genau wie 6/8 zu 3/4 zu kürzen: Faktorisiere alles und kürze dann, was Zähler und Nenner gemeinsam haben.
Faktorisieren, dann kürzen
Du kannst keine Terme kürzen – nur Faktoren. In (x²−1)/(x+1) faktorisiert der Zähler zu (x+1)(x−1), also kürzt sich der Faktor (x+1) und übrig bleibt x−1. Die x in (x+5)/x zu kürzen wäre falsch, weil x ein Term ist, kein Faktor.
Vergiss nie den Definitionsbereich
Das Kürzen von (x+1) löscht nicht die Tatsache, dass x = −1 den ursprünglichen Nenner zu null machte. Gib ausgeschlossene Werte immer aus dem ursprünglichen Nenner an – dieses Tool listet sie automatisch auf.
Beispiel: (x² − 9)/(x² − x − 6) vereinfachen
- Zähler faktorisieren: x² − 9 ist eine Differenz von Quadraten → (x + 3)(x − 3).
- Nenner faktorisieren: x² − x − 6 braucht zwei Zahlen mit Produkt −6 und Summe −1 → (x − 3)(x + 2).
- Gemeinsamen Faktor kürzen: (x − 3) erscheint oben und unten, übrig bleibt (x + 3)/(x + 2).
- Definitionsbereich angeben: Der ursprüngliche Nenner ist null bei x = 3 und x = −2, also ist die vereinfachte Form (x + 3)/(x + 2) mit x ≠ 3, −2.
Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren
Multiplikation folgt derselben Faktor-zuerst-Regel: Faktorisiere jeden Zähler und Nenner und kürze dann diagonal. Division heißt, mit dem Kehrwert des Divisors zu multiplizieren – drehe den zweiten Ausdruck um, dann faktorisieren und kürzen. In beiden Fällen wachsen die ausgeschlossenen Werte: Sammle Nullstellen aus jedem ursprünglichen Nenner, nicht nur aus dem letzten.
Brauchst du den Faktorisierungsschritt erklärt? Siehe unseren Faktorisierungsrechner oder übe mit reinen Zahlenbrüchen auf dem Bruchrechner.