So funktionieren Taylorreihen
Eine Taylorreihe schreibt eine glatte Funktion als unendliches Polynom um, gebaut aus ihren Ableitungen an einem einzigen Punkt: f(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f″(a)(x−a)²/2! + … Jeder Term korrigiert die Näherung mit Informationen höherer Ordnung darüber, wie sich die Funktion krümmt. Brich nach n Termen ab, und du erhältst das Taylorpolynom vom Grad n.
Maclaurin: Der Sonderfall a = 0
Zentriere bei null, und die Reihe heißt Maclaurinreihe. Die berühmten: e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …, sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …. Diese Potenzreihen sind, wie Taschenrechner selbst intern transzendente Funktionen auswerten.
Konvergenz zählt
Ein Taylorpolynom nähert nahe dem Zentrum gut an; weit weg kann es wild divergieren. Das Intervall, in dem die volle Reihe konvergiert, muss getrennt geprüft werden – probier dafür unseren Rechner für Reihenkonvergenz oder den Ableitungsrechner für die zugrunde liegenden Ableitungen.