حاسبة تقارب المتسلسلات

كيف تعمل اختبارات تقارب المتسلسلات

تتقارب متسلسلة لا نهائية Σa_n إذا استقرت مجاميعها الجزئية نحو عدد منتهٍ — وإلا فإنها تباعد. لا اختبار وحيد يتعامل مع كل متسلسلة، لذا بنى الرياضيون صندوق أدوات. الاستراتيجية: جرّب أرخص اختبار أولًا ولا تصعّد إلا عندما يعود غير حاسم.

سلم الاختبارات

• اختبار الحد النوني: إذا لم تتجه a_n إلى 0، تباعد المتسلسلة. (اجتيازه لا يثبت شيئًا.)
• الهندسية: Σar^(n−1) تتقارب إذا وفقط إذا كان |r| < 1، ومجموعها a/(1−r).
• متسلسلة p: Σ1/n^p تتقارب إذا وفقط إذا كان p > 1 — المتسلسلة التوافقية (p = 1) تباعد كما هو مشهور.
• اختبار النسبة: إذا اتجه |a_(n+1)/a_n| إلى L < 1 تتقارب؛ L > 1 تباعد؛ L = 1 غير حاسم.
• اختبار الجذر: المنطق نفسه مع |a_n|^(1/n) — الأفضل للحدود ذات القوى النونية.

المتسلسلات هي المحرك الكامن وراء توسيعات تايلور — راجع حاسبة متسلسلة تايلور لدينا.