Résoudre les équations logarithmiques étape par étape (exemples)

Pour résoudre une équation logarithmique, suivez toujours la même routine : regroupez les logarithmes en un seul à l’aide des règles des log, réécrivez l’équation sous forme exponentielle, résolvez pour x, puis vérifiez votre réponse dans l’équation d’origine. La vérification n’est pas facultative — le regroupement peut produire des réponses qui semblent correctes mais sont en réalité invalides. La relation clé est simple : log_b(x) = y signifie exactement la même chose que bʸ = x. Ainsi, log₂(3x − 4) = 3 n’est en réalité que 2³ = 3x − 4 déguisé, et se résout en x = 4. Ce guide présente les trois règles des log dont vous avez besoin, puis cinq exemples détaillés qui suivent tous cette routine.

Les 3 règles des log dont vous avez besoin

Apprenez d’abord ces trois identités — chaque exemple ci-dessous en utilise au moins une.

1. Règle du produit : log_b(M · N) = log_b(M) + log_b(N). Le log d’un produit se décompose en une somme de logs — p. ex. log₂(8 · 4) = 3 + 2 = 5. Lue à l’envers, elle regroupe deux logs en un seul, ce dont les exemples 2 et 3 ont besoin.

2. Règle du quotient : log_b(M / N) = log_b(M) − log_b(N). Le log d’un quotient se décompose en une différence de logs — p. ex. log(1000 / 10) = 3 − 1 = 2.

3. Règle de la puissance : log_b(Mᵏ) = k · log_b(M). Un exposant à l’intérieur du log passe devant comme multiplicateur — p. ex. log(10⁴) = 4 · 1 = 4.

Enfin, la relation qui transforme les logarithmes en algèbre ordinaire : log_b(x) = y signifie exactement la même chose que bʸ = x. Une fois l’équation sous cette forme exponentielle, le logarithme a disparu et vous résolvez normalement.

C’est dans cette conversion que la plupart des équations logarithmiques se gagnent ou se perdent, alors entraînez-vous à passer d’une forme à l’autre jusqu’à ce que cela devienne automatique. Si les puissances vous ralentissent, la calculatrice d’exposants vérifie instantanément des valeurs comme 2³ = 8 et 10³ = 1000.

Comment résoudre les équations logarithmiques : 5 exemples détaillés

Exemple 1 : conversion en forme exponentielle — log₂(3x − 4) = 3

Un seul logarithme égal à un nombre : convertissez-le directement en forme exponentielle.

1. Réécrivez sous forme exponentielle. log₂(3x − 4) = 3 signifie 2³ = 3x − 4.
2. Simplifiez la puissance. 2³ = 8, donc 8 = 3x − 4.
3. Résolvez l’équation linéaire. Ajoutez 4 : 12 = 3x, puis divisez par 3 : x = 4.
4. Vérifiez le domaine. L’argument doit être positif : 3(4) − 4 = 8 > 0 ✓.

Réponse : x = 4. Vérification rapide : log₂(8) = 3 car 2³ = 8. ✓

Exemple 2 : regroupement avec la règle du produit — log(x) + log(x − 3) = 1

Avec log en base 10, regroupez d’abord les deux logs additionnés en un seul.

1. Regroupez à l’aide de la règle du produit. log(x) + log(x − 3) = log(x(x − 3)), donc log(x(x − 3)) = 1.
2. Convertissez en forme exponentielle. log(x(x − 3)) = 1 signifie 10¹ = x(x − 3), donc 10 = x(x − 3).
3. Réarrangez en une équation quadratique. x² − 3x = 10 devient x² − 3x − 10 = 0.
4. Factorisez et résolvez. (x − 5)(x + 2) = 0 donne les candidats x = 5 et x = −2.
5. Vérifiez le domaine. L’équation d’origine exige x > 0 ET x − 3 > 0, c’est-à-dire x > 3. Seul x = 5 convient ; rejetez x = −2.

Réponse : x = 5. Vérifiez : log(5) + log(2) = log(10) = 1. ✓

Remarquez où s’est fait le vrai travail : l’étape quadratique. Si factoriser x² − 3x − 10 = 0 est ce qui vous ralentit, le solveur d’équations quadratiques montre les étapes de factorisation pour toute équation quadratique que vous saisissez.

Exemple 3 : le piège de la solution parasite — log₂(x) + log₂(x − 2) = 3

Deux candidats vont émerger — mais un seul survit.

1. Regroupez à l’aide de la règle du produit. log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂(x(x − 2)), donc log₂(x(x − 2)) = 3.
2. Convertissez en forme exponentielle. log₂(x(x − 2)) = 3 signifie 2³ = x(x − 2), donc 8 = x(x − 2).
3. Réarrangez. x² − 2x = 8 devient x² − 2x − 8 = 0.
4. Factorisez et résolvez. (x − 4)(x + 2) = 0 donne les candidats x = 4 et x = −2.
5. Testez chaque candidat dans l’équation D’ORIGINE. Pour x = 4 : log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3 ✓, les deux arguments sont positifs. Pour x = −2 : il faudrait log₂(−2) + log₂(−4) — des logs de nombres négatifs, qui n’existent pas. Rejetez x = −2.

Réponse : x = 4. Voici pourquoi la solution parasite est apparue : le regroupement a élargi le domaine. L’expression d’origine exige que les deux arguments soient positifs, mais le log regroupé log₂(x(x − 2)) n’exige que le produit positif — ce qui est aussi vrai quand les deux facteurs sont négatifs, et c’est ainsi que x = −2 s’est glissé. Les étapes qui suivent le regroupement produisent des candidats, pas des solutions confirmées : revenir dans l’équation d’origine est donc obligatoire.

Exemple 4 : changement de base — résoudre 2 · log(x) = 6

Gérer un coefficient devant le log, plus la formule de changement de base pour vérifier sur n’importe quelle calculatrice.

1. Isolez le logarithme. Divisez les deux côtés par 2 : log(x) = 3.
2. Convertissez en forme exponentielle. log(x) = 3 signifie 10³ = x.
3. Évaluez. 10³ = 1000, donc x = 1000.
4. Vérifiez le domaine. L’argument x = 1000 est positif — valide.
5. Vérifiez avec le changement de base. log_b(x) = log(x) / log(b) vous permet d’évaluer n’importe quel log avec les touches log ou ln de votre calculatrice : ln(1000) ÷ ln(10) = 3 ✓. Elle gère aussi les bases inhabituelles, p. ex. log₅(25) = ln(25) ÷ ln(5) = 2.

Réponse : x = 1000. Vérification : 2 · log(1000) = 2 · 3 = 6 ✓.

Exemple 5 : des logs des deux côtés — log(2x + 1) = log(x + 7)

La même base des deux côtés signifie que les arguments doivent être égaux.

1. Égalez les arguments. 2x + 1 = x + 7.
2. Résolvez. Soustrayez x : x + 1 = 7, puis soustrayez 1 : x = 6.
3. Vérifiez les deux arguments. Les deux doivent être positifs dans l’équation d’origine : 2(6) + 1 = 13 > 0 et 6 + 7 = 13 > 0 ✓.

Réponse : x = 6. Vérifiez : log(13) = log(13) ✓. Ce raccourci ne fonctionne que lorsque les logs sont entièrement isolés, un de chaque côté — la raison pour laquelle les exemples précédents devaient d’abord être regroupés.

Vérifier vos réponses : l’étape qui détecte les fausses solutions

1. Remettez le candidat dans l’équation d’origine (pas la version regroupée ni convertie) et confirmez que les deux côtés sont égaux.
2. Confirmez que chaque argument de log est positif dans l’équation d’origine. Tout argument négatif ou nul disqualifie le candidat instantanément.
3. Vérifiez numériquement avec la calculatrice de logarithmes gratuite — saisissez l’expression d’origine avec votre valeur de x et confirmez que chaque log s’évalue proprement.

Erreurs courantes à éviter

• Diviser les logs comme des nombres ordinaires. log(a) / log(b) n’est PAS égal à log(a / b) — ce rapport est une expression de changement de base : log(a) / log(b) = log_b(a). La règle du quotient ne s’applique qu’au log d’un quotient : log(a / b) = log(a) − log(b).
• Oublier le domaine. Sauter la vérification du domaine et accepter une solution parasite est l’erreur la plus courante. Exigez toujours : chaque argument > 0, chaque base > 0 et ≠ 1.
• Mal appliquer la règle de la puissance aux sommes. log(x + y) n’est PAS log(x) + log(y). Les règles s’appliquent aux produits, aux quotients et aux puissances — jamais aux sommes ni aux différences à l’intérieur du log.
• Perdre la base pendant la conversion. log_b(x) = y devient bʸ = x, pas yᵇ. Retenez : « la base élevée à la puissance de la réponse égale l’argument ».
• Décomposer les logs sur une addition. log(3x) égale log(3) + log(x), pas x · log(3) — le log décompose le produit ; il ne multiplie jamais rien.

Questions fréquemment posées

Quelle est la première étape pour résoudre une équation logarithmique ?

Rendez le log « transparent ». Un seul log isolé se convertit directement en forme exponentielle : log_b(x) = y devient bʸ = x. Plusieurs logs sont d’abord regroupés en un seul (règle du produit, du quotient ou de la puissance), puis convertis. Notez le domaine (chaque argument > 0) dès le départ afin de rejeter plus tard les réponses invalides.

Pourquoi des solutions parasites apparaissent-elles lors de la résolution des équations logarithmiques ?

Parce que le regroupement élargit le domaine. Dans log₂(x) + log₂(x − 2) = 3, les deux arguments doivent être positifs, mais une fois regroupée en log₂(x(x − 2)) = 3, seul le produit doit être positif — ce qui est aussi vrai quand les deux facteurs sont négatifs. Testez chaque candidat dans l’équation d’origine ; rejetez tout candidat qui rend un argument nul ou négatif.

L’argument d’un logarithme peut-il être négatif ?

Non. Pour les logarithmes réels, l’argument doit être strictement positif, et la base positive et différente de 1. C’est pourquoi les vérifications de domaine comptent : x = −2 peut satisfaire l’équation quadratique convertie tout en restant invalide, car il vous obligerait à évaluer log₂(−2).

Qu’est-ce que la formule de changement de base, et quand l’utiliser ?

log_b(x) = log(x) / log(b), les logs de droite étant dans n’importe quelle base pratique — généralement la base 10 ou e. Utilisez-la pour évaluer ou vérifier des logs dont la base est absente de votre calculatrice, p. ex. log₅(25) = ln(25) ÷ ln(5) = 2.

Comment vérifier rapidement ma réponse ?

Remplacez x dans l’équation d’origine, confirmez que les deux côtés concordent et que chaque argument est positif. Pour une double vérification numérique, saisissez l’expression dans la calculatrice de logarithmes gratuite — elle évalue instantanément les logs dans n’importe quelle base, donc vérifier x = 1000 dans 2 · log(x) = 6 prend quelques secondes.

Résoudre les équations logarithmiques se résume à une habitude reproductible : appliquer les règles des log, convertir en forme exponentielle, résoudre l’algèbre, et toujours vérifier le domaine. Refaites les cinq exemples au crayon et sur papier, puis changez un nombre dans chacun et résolvez à nouveau. Pour vérifier vos réponses rapidement — ou gérer des bases inhabituelles — utilisez la calculatrice de logarithmes gratuite. Et si c’est l’algèbre simple à la fin de chaque exemple qui vous fait trébucher, notre guide sur comment résoudre les équations linéaires la couvre étape par étape.