Comment fonctionnent les critères de convergence des séries
Une série infinie Σa_n converge si ses sommes partielles se stabilisent vers un nombre fini — sinon, elle diverge. Aucun critère unique ne gère toutes les séries, alors les mathématiciens ont construit une boîte à outils. La stratégie : essayez d’abord le critère le moins coûteux et ne montez en puissance que lorsqu’il revient non concluant.
L’échelle des critères
- Critère du terme général : si a_n ne tend pas vers 0, la série diverge. (Le réussir ne prouve rien.)
- Géométrique : Σar^(n−1) converge si et seulement si |r| < 1, avec une somme de a/(1−r).
- Séries de Riemann (p-séries) : Σ1/n^p converge si et seulement si p > 1 — la série harmonique (p = 1) diverge, c’est célèbre.
- Critère du rapport : si |a_(n+1)/a_n| → L < 1, elle converge ; L > 1, elle diverge ; L = 1, non concluant.
- Critère de la racine : même logique avec |a_n|^(1/n) — le meilleur pour les termes avec des puissances n-ièmes.
Les séries sont le moteur derrière les développements de Taylor — voyez notre calculatrice de séries de Taylor.