Comment fonctionne la composition de fonctions
La composition enchaîne les fonctions comme une chaîne de production : g traite d’abord x, puis f traite la sortie de g. La notation (f∘g)(x) se lit « f de g de x », et la fonction la plus à droite agit toujours en premier.
Substitution, pas multiplication
L’erreur classique est de multiplier les fonctions au lieu de substituer. Pour f(x) = 2x + 1 et g(x) = x², (f∘g)(x) remplace chaque x dans f par x², ce qui donne 2x² + 1 — pas 2x³ + x².
L’ordre compte
(g∘f)(x) pour la même paire vaut (2x+1)² = 4x² + 4x + 1 — complètement différent. Substituez toujours dans l’ordre qu’exige la notation, de l’intérieur vers l’extérieur.
Exemple détaillé : évaluer (f∘g)(3)
Gardons f(x) = 2x + 1 et g(x) = x². Pour trouver (f∘g)(3), travaillez de l’intérieur vers l’extérieur :
- Évaluez la fonction intérieure : g(3) = 3² = 9.
- Injectez ce résultat dans f : f(9) = 2(9) + 1 = 19.
- Réponse : (f∘g)(3) = 19 — ce qui concorde avec la substitution d’abord : (f∘g)(x) = 2x² + 1, et 2(3²) + 1 = 19.
Attention au domaine
Une composition n’est définie que là où les deux étapes fonctionnent : x doit être dans le domaine de g, et g(x) doit être dans le domaine de f. Si g(x) = √x et f(x) = 1/x, alors (f∘g)(x) = 1/√x échoue à x = 0 même si chaque fonction convient ailleurs — g(0) = 0 tombe en dehors du domaine de f. Lorsque la calculatrice renvoie une expression, vérifiez ces deux points de contrôle avant de lui faire confiance.
La composition est la façon dont les inverses sont vérifiés : essayez notre calculatrice de fonction inverse ou simplifiez les expressions substituées avec la calculatrice d’algèbre.