Comment fonctionnent les séries de Taylor
Une série de Taylor réécrit une fonction régulière comme un polynôme infini construit à partir de ses dérivées en un seul point : f(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f″(a)(x−a)²/2! + … Chaque terme corrige l’approximation en utilisant des informations d’ordre supérieur sur la courbure de la fonction. Arrêtez-vous après n termes et vous obtenez le polynôme de Taylor de degré n.
Maclaurin : le cas particulier a = 0
Centrez en zéro et la série s’appelle une série de Maclaurin. Les célèbres : e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …, sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …. Ces séries de puissances sont la façon dont les calculatrices elles-mêmes évaluent les fonctions transcendantes en interne.
La convergence compte
Un polynôme de Taylor approche bien près du centre ; loin, il peut diverger complètement. L’intervalle où la série complète converge doit être vérifié séparément — essayez notre calculatrice de convergence de séries pour cela, ou la calculatrice de dérivées pour les dérivées sous-jacentes.