Comment travailler avec les polynômes
Les polynômes sont les bêtes de somme de l’algèbre : des sommes de termes en puissance comme 4x³ − x + 9. Le degré — le plus grand exposant — vous indique la forme du graphique et le nombre maximal de racines.
Arithmétique avec les polynômes
Additionner et soustraire, c’est simplement regrouper les termes semblables des deux polynômes. Multiplier signifie distribuer chaque terme — la méthode FOIL n’est que le cas particulier à 2 termes de cette règle générale.
À la chasse aux racines
Le théorème des racines rationnelles resserre la recherche : chaque racine rationnelle a la forme p/q, où p divise le terme constant et q divise le coefficient dominant. Testez les candidats — tout succès est une vraie racine.
Exemple détaillé : division synthétique par (x − 1)
Divisez P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 par (x − 1). Écrivez les coefficients 1, −6, 11, −6 et faites descendre la valeur d’essai 1 :
- Faites descendre le 1 → multipliez par 1, ajoutez à −6 → −5.
- Répétez : multipliez −5 par 1, ajoutez à 11 → 6.
- Terminez : multipliez 6 par 1, ajoutez à −6 → 0.
Le reste est 0, donc x = 1 est une racine et le quotient x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) révèle le reste : P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3), avec les racines 1, 2 et 3.
Lire le comportement aux extrémités
Le terme dominant contrôle les deux extrémités du graphique. Un degré pair avec un coefficient dominant positif (comme x⁴) monte des deux côtés ; un degré impair (comme x³) descend à gauche et monte à droite ; un coefficient dominant négatif inverse ces comportements. Connaître les extrémités à l’avance vous indique si les racines trouvées peuvent être toutes les racines — un polynôme de degré impair doit croiser l’axe au moins une fois.
Vous avez trouvé une racine et voulez les facteurs ? Essayez notre calculatrice de factorisation ou simplifiez les expressions avec la calculatrice d’algèbre.