L’essentiel de la trigonométrie
La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les côtés des triangles. Pour un triangle rectangle, trois rapports font tout le travail : sin θ = opposé/hypoténuse, cos θ = adjacent/hypoténuse, tan θ = opposé/adjacent — retenus avec le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA.
Le cercle unitaire
Sur un cercle de rayon 1, les coordonnées de n’importe quel angle sont simplement (cos θ, sin θ). Les valeurs exactes à 30°, 45°, 60° et 90° viennent du découpage de triangles équilatéraux et de carrés — mémorisez ces quatre-là et vous pouvez déduire le reste par symétrie. Le tableau ci-dessus liste chaque angle standard.
Exemple détaillé : trouver un côté manquant
Une échelle de 10 mètres s’appuie contre un mur à 65° par rapport au sol. À quelle distance le pied est-il du mur ? L’échelle est l’hypoténuse, le sol est le côté adjacent, et cos(65°) = adjacent / 10 :
- Choisissez le rapport : nous connaissons l’hypoténuse et voulons le côté adjacent → cosinus.
- Posez l’équation : adjacent = 10 × cos(65°).
- Évaluez : cos(65°) ≈ 0,4226, donc adjacent ≈ 4,23 mètres. Le tableau ci-dessus liste sin, cos et tan pour chaque angle standard afin que vous puissiez vérifier le schéma.
Trouver l’angle à la place
Lorsque les côtés sont connus et que l’angle manque, utilisez la trigonométrie inverse : θ = sin⁻¹(opposé / hypoténuse). Une rampe de 5 mètres qui monte de 3 mètres rencontre le sol à θ = sin⁻¹(3/5) ≈ 36,87°. C’est l’étape que les élèves de géométrie manquent le plus souvent — la calculatrice ci-dessus évalue sin⁻¹, cos⁻¹ et tan⁻¹ directement, en degrés ou en radians.
Degrés contre radians
Les radians mesurent les angles par la longueur d’arc : un cercle complet vaut 2π radians. Convertissez avec radians = degrés × π/180. L’analyse (dérivées de sin et cos, séries de Taylor) ne fonctionne proprement qu’en radians — voyez notre calculatrice de dérivées.