Comment trouver une fonction inverse
Les fonctions inverses annulent le travail de l’autre. Si doubler puis ajouter un donne f(x) = 2x + 1, l’inverse soustrait un puis divise par deux : f⁻¹(x) = (x−1)/2. Graphiquement, un inverse est l’image miroir par rapport à la droite y = x.
La méthode échanger-et-résoudre
- Écrivez y = f(x).
- Échangez chaque x avec y (et y avec x).
- Résolvez la nouvelle équation pour y — ce y est f⁻¹(x).
- Vérifiez par composition : f(f⁻¹(x)) doit égaler x.
Exemple détaillé : inverser f(x) = 3x − 6
- Écrivez : y = 3x − 6.
- Échangez : x = 3y − 6.
- Résolvez pour y : ajoutez 6 → x + 6 = 3y, divisez par 3 → y = (x + 6)/3.
- Vérifiez : f(f⁻¹(x)) = 3((x + 6)/3) − 6 = x + 6 − 6 = x ✓. La composition se réduit exactement à x, donc l’inverse est confirmé.
Qui a droit à un inverse ?
Seules les fonctions bijectives (un-à-un) ont des inverses : deux entrées ne peuvent pas partager une même sortie. Le test rapide est le test de la droite horizontale — si une droite horizontale croise le graphique deux fois, la fonction échoue. C’est pourquoi x² n’a pas d’inverse unique sur tous les réels (restreignez-la à x ≥ 0 pour corriger cela), tandis que les racines impaires comme ∛x conviennent partout.
Paires d’inverses célèbres
Les puissances s’associent aux racines, les exponentielles aux logarithmes (e^x ↔ ln x), et 1/x est son propre inverse. Reconnaître ces paires fait gagner de l’algèbre.
Vérifiez un inverse en composant dans les deux sens avec notre calculatrice de composition de fonctions ou résolvez l’étape d’échange avec la calculatrice d’algèbre.