Comment fonctionnent les logarithmes
Les logarithmes sont les exposants à l’envers. Là où 10³ = 1000 demande « que vaut 10 au cube ? », log₁₀(1000) = 3 demande « 10 à quelle puissance donne 1000 ? » Chaque question exponentielle a sa question logarithmique miroir.
Les trois lois des logarithmes
- Produit : log(xy) = log x + log y
- Quotient : log(x/y) = log x − log y
- Puissance : log(x^n) = n · log x
Règles de domaine
On ne peut prendre le logarithme que de nombres positifs, et la base doit être positive et différente de 1. C’est pourquoi log(−5) et log₁(x) sont indéfinis — aucune puissance d’une base positive ne donne un nombre négatif.
Exemple détaillé : évaluer log₃(81)
- Reformulez en puissance : log₃(81) demande « 3 à quelle puissance égale 81 ? »
- Comptez les multiplications : 3 × 3 × 3 × 3 = 81, donc 81 = 3⁴.
- Lisez la réponse : log₃(81) = 4. Dans la calculatrice, entrez la base 3 et la valeur 81 — ou utilisez la formule de changement de base ln(81) ÷ ln(3) = 4 sur n’importe quel appareil.
Quelle base, et quand ?
La base 10 fait fonctionner les échelles que les scientifiques utilisent pour comprimer d’immenses intervalles : le pH, l’échelle de Richter et les décibels avancent chacun d’un pas par multiplication par dix. La base e (ln) est le langage de la croissance et de la décroissance — les intérêts composés, la demi-vie et le refroidissement se simplifient tous avec les logarithmes naturels. La base 2 appartient à l’informatique : log₂ vous dit combien de bits une valeur exige ou combien de fois une recherche binaire peut diviser une liste en deux. Choisissez la base qui correspond au problème, pas celle qui se trouve sur votre calculatrice.
Les logarithmes annulent les exponentielles : essayez la calculatrice d’exposants ou calculez les puissances directement sur la calculatrice scientifique.