त्रिकोणमिति की आवश्यक बातें
त्रिकोणमिति त्रिभुजों में कोणों व भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन करती है। समकोण त्रिभुज के लिए, तीन अनुपात सारा काम करते हैं: sin θ = सामने वाली भुजा/कर्ण, cos θ = लगी हुई भुजा/कर्ण, tan θ = सामने वाली भुजा/लगी हुई भुजा — स्मरण-सूत्र SOH-CAH-TOA से याद किए जाते हैं।
इकाई वृत्त
त्रिज्या 1 के वृत्त पर, किसी भी कोण के निर्देशांक बस (cos θ, sin θ) हैं। 30°, 45°, 60° और 90° पर सटीक मान समबाहु त्रिभुजों व वर्गों को बाँटने से आते हैं — उन चारों को याद करें और आप सममिति से बाकी निकाल सकते हैं। ऊपर की तालिका हर मानक कोण सूचीबद्ध करती है।
हल किया गया उदाहरण: गुम भुजा खोजना
10-मीटर की सीढ़ी ज़मीन से 65° पर दीवार से टिकी है। पैर दीवार से कितनी दूर है? सीढ़ी कर्ण है, ज़मीन लगी हुई भुजा है, और cos(65°) = लगी हुई भुजा / 10:
- अनुपात चुनें: हम कर्ण जानते हैं और लगी हुई भुजा चाहते हैं → कोसाइन।
- समीकरण बनाएं: लगी हुई भुजा = 10 × cos(65°)।
- मान निकालें: cos(65°) ≈ 0.4226, इसलिए लगी हुई भुजा ≈ 4.23 मीटर। ऊपर की तालिका हर मानक कोण के लिए sin, cos व tan सूचीबद्ध करती है ताकि आप पैटर्न जांच सकें।
इसके बजाय कोण खोजना
जब भुजाएं ज्ञात हों और कोण गुम हो, तो प्रतिलोम त्रिकोणमिति इस्तेमाल करें: θ = sin⁻¹(सामने वाली भुजा / कर्ण)। 3 मीटर उठता 5-मीटर का रैंप ज़मीन से θ = sin⁻¹(3/5) ≈ 36.87° पर मिलता है। यह वह चरण है जो ज्यामिति विद्यार्थी सबसे अक्सर चूकते हैं — ऊपर दिया कैलकुलेटर sin⁻¹, cos⁻¹ व tan⁻¹ सीधे निकालता है, डिग्री या रेडियन में।
डिग्री बनाम रेडियन
रेडियन कोणों को चाप लंबाई से मापते हैं: पूरा वृत्त 2π रेडियन है। इससे बदलें रेडियन = डिग्री × π/180। कलन (sin व cos के अवकलज, टेलर श्रेणी) केवल रेडियन में साफ़ काम करता है — हमारा अवकलज कैलकुलेटर देखें।