फलन संयोजन कैलकुलेटर

फलन संयोजन कैसे काम करता है

संयोजन फलनों को उत्पादन लाइन की तरह जोड़ता है: g पहले x को संसाधित करता है, फिर f, g के आउटपुट को संसाधित करता है। संकेतन (f∘g)(x) को «f of g of x» पढ़ा जाता है, और सबसे दायां फलन हमेशा पहले काम करता है।

प्रतिस्थापन, गुणा नहीं

क्लासिक गलती है फलनों को प्रतिस्थापित करने के बजाय गुणा करना। f(x) = 2x + 1 और g(x) = x² के लिए, (f∘g)(x) f में हर x को x² से बदलता है, जिससे 2x² + 1 मिलता है — न कि 2x³ + x²।

क्रम मायने रखता है

उसी युग्म के लिए (g∘f)(x) है (2x+1)² = 4x² + 4x + 1 — पूरी तरह अलग। हमेशा संकेतन की मांग के क्रम में प्रतिस्थापित करें, सबसे अंदर से पहले।

हल किया गया उदाहरण: (f∘g)(3) का मान

f(x) = 2x + 1 और g(x) = x² रखें। (f∘g)(3) निकालने के लिए, अंदर से बाहर की ओर काम करें:

• आंतरिक फलन का मान निकालें: g(3) = 3² = 9।
• वह परिणाम f में डालें: f(9) = 2(9) + 1 = 19।
• उत्तर: (f∘g)(3) = 19 — जो पहले प्रतिस्थापित करने से मेल खाता है: (f∘g)(x) = 2x² + 1, और 2(3²) + 1 = 19।

प्रांत का ध्यान रखें

संयोजन केवल वहाँ परिभाषित है जहाँ दोनों चरण काम करें: x, g के प्रांत में होना चाहिए, और g(x), f के प्रांत में होना चाहिए। अगर g(x) = √x और f(x) = 1/x है, तो (f∘g)(x) = 1/√x, x = 0 पर असफल होता है भले ही हर फलन अन्यत्र ठीक हो — g(0) = 0, f के प्रांत से बाहर पड़ता है। जब कैलकुलेटर कोई व्यंजक लौटाए, तो उस पर भरोसा करने से पहले वे दो जांच बिंदु जांचें।

संयोजन ही वह तरीका है जिससे प्रतिलोम सत्यापित होते हैं: हमारा प्रतिलोम फलन कैलकुलेटर आज़माएँ या प्रतिस्थापित व्यंजक बीजगणित कैलकुलेटर से सरल करें।