प्रतिलोम फलन कैसे निकालें
प्रतिलोम फलन एक-दूसरे के काम को उलट देते हैं। अगर दोगुना करके एक जोड़ना f(x) = 2x + 1 है, तो प्रतिलोम एक घटाकर आधा करता है: f⁻¹(x) = (x−1)/2। ग्राफ़ीय रूप से, प्रतिलोम रेखा y = x के पार दर्पण प्रतिबिंब है।
बदल-कर-हल विधि
- लिखें y = f(x)।
- बदलें हर x को y से (और y को x से)।
- हल करें नए समीकरण को y के लिए — वह y ही f⁻¹(x) है।
- सत्यापित करें संयोजन करके: f(f⁻¹(x)) बराबर x होना चाहिए।
हल किया गया उदाहरण: f(x) = 3x − 6 का प्रतिलोम
- लिखें: y = 3x − 6।
- बदलें: x = 3y − 6।
- y के लिए हल करें: 6 जोड़ें → x + 6 = 3y, 3 से भाग दें → y = (x + 6)/3।
- सत्यापित करें: f(f⁻¹(x)) = 3((x + 6)/3) − 6 = x + 6 − 6 = x ✓। संयोजन ठीक x में समेट जाता है, इसलिए प्रतिलोम की पुष्टि हो गई।
प्रतिलोम किसे मिलता है?
केवल एकैकी (one-to-one) फलनों के प्रतिलोम होते हैं: कोई दो इनपुट एक आउटपुट साझा नहीं कर सकते। त्वरित जांच है क्षैतिज रेखा परीक्षण — अगर कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को दो बार काटे, तो फलन असफल है। इसीलिए x² का सभी वास्तविक संख्याओं पर एकल प्रतिलोम नहीं है (उसे x ≥ 0 तक सीमित करके ठीक करें), जबकि ∛x जैसे विषम मूल हर जगह ठीक हैं।
प्रसिद्ध प्रतिलोम युग्म
घातें मूलों के साथ युग्म बनती हैं, घातांकीय लघुगणकों के साथ (e^x ↔ ln x), और 1/x स्वयं अपना प्रतिलोम है। युग्मों को पहचानना बीजगणित बचाता है।
किसी प्रतिलोम को दोनों तरह संयोजन करके हमारे फलन संयोजन कैलकुलेटर से जांचें या बदलने वाला चरण बीजगणित कैलकुलेटर से हल करें।