Como encontrar uma função inversa
Funções inversas revertem o trabalho uma da outra. Se dobrar e depois somar um é f(x) = 2x + 1, a inversa subtrai um e depois divide por dois: f⁻¹(x) = (x−1)/2. Graficamente, uma inversa é a imagem espelhada em relação à reta y = x.
O método de trocar e resolver
- Escreva y = f(x).
- Troque cada x por y (e y por x).
- Resolva a nova equação para y — esse y é f⁻¹(x).
- Verifique compondo: f(f⁻¹(x)) deve ser igual a x.
Exemplo resolvido: invertendo f(x) = 3x − 6
- Escreva: y = 3x − 6.
- Troque: x = 3y − 6.
- Resolva para y: some 6 → x + 6 = 3y, divida por 3 → y = (x + 6)/3.
- Verifique: f(f⁻¹(x)) = 3((x + 6)/3) − 6 = x + 6 − 6 = x ✓. A composição se reduz a x exatamente, então a inversa está confirmada.
Quem tem inversa?
Só funções um para um têm inversas: nenhuma entrada pode compartilhar uma saída. A verificação rápida é o teste da reta horizontal — se qualquer reta horizontal cruza o gráfico duas vezes, a função falha. É por isso que x² não tem uma única inversa em todos os reais (divida-a em x ≥ 0 para corrigir), enquanto raízes ímpares como ∛x funcionam em todo lugar.
Pares inversos famosos
Potências combinam com raízes, exponenciais combinam com logaritmos (e^x ↔ ln x), e 1/x é sua própria inversa. Reconhecer os pares economiza álgebra.
Verifique uma inversa compondo dos dois jeitos com nossa calculadora de composição de funções ou resolva o passo da troca com a calculadora de álgebra.