Como funcionam os testes de convergência de séries
Uma série infinita Σa_n converge se suas somas parciais se estabilizam em um número finito — caso contrário, diverge. Nenhum teste único cuida de toda série, então os matemáticos construíram uma caixa de ferramentas. A estratégia: experimente o teste mais barato primeiro e escale só quando ele voltar inconclusivo.
A escada de testes
- Teste do termo geral: se a_n não → 0, a série diverge. (Passar nele não prova nada.)
- Geométrica: Σar^(n−1) converge se e somente se |r| < 1, somando a/(1−r).
- Série p: Σ1/n^p converge se e somente se p > 1 — a série harmônica (p = 1) diverge famosamente.
- Teste da razão: se |a_(n+1)/a_n| → L < 1, converge; L > 1, diverge; L = 1, inconclusivo.
- Teste da raiz: mesma lógica com |a_n|^(1/n) — melhor para termos com potências n.
Séries são o motor por trás das expansões de Taylor — veja nossa calculadora de séries de Taylor.