Como funciona a composição de funções
A composição encadeia funções como uma linha de produção: g processa x primeiro, depois f processa a saída de g. A notação (f∘g)(x) se lê «f de g de x», e a função mais à direita sempre age primeiro.
Substituição, não multiplicação
O erro clássico é multiplicar as funções em vez de substituir. Para f(x) = 2x + 1 e g(x) = x², (f∘g)(x) substitui cada x em f por x², dando 2x² + 1 — não 2x³ + x².
A ordem importa
(g∘f)(x) para o mesmo par é (2x+1)² = 4x² + 4x + 1 — completamente diferente. Sempre substitua na ordem que a notação exige, de dentro para fora primeiro.
Exemplo resolvido: avaliando (f∘g)(3)
Mantenha f(x) = 2x + 1 e g(x) = x². Para encontrar (f∘g)(3), trabalhe de dentro para fora:
- Avalie a função interna: g(3) = 3² = 9.
- Alimente esse resultado em f: f(9) = 2(9) + 1 = 19.
- Resposta: (f∘g)(3) = 19 — que coincide com substituir primeiro: (f∘g)(x) = 2x² + 1, e 2(3²) + 1 = 19.
Cuidado com o domínio
Uma composição só é definida onde os dois passos funcionam: x deve estar no domínio de g, e g(x) deve estar no domínio de f. Se g(x) = √x e f(x) = 1/x, então (f∘g)(x) = 1/√x falha em x = 0 mesmo que cada função funcione em outro lugar — g(0) = 0 cai fora do domínio de f. Quando a calculadora devolver uma expressão, verifique esses dois pontos antes de confiar nela.
Composição é como as inversas são verificadas: experimente nossa calculadora de função inversa ou simplifique as expressões substituídas com a calculadora de álgebra.