Cómo encontrar una función inversa
Las funciones inversas deshacen el trabajo la una de la otra. Si duplicar y luego sumar uno es f(x) = 2x + 1, la inversa resta uno y luego parte a la mitad: f⁻¹(x) = (x−1)/2. En la gráfica, una inversa es la imagen especular respecto a la recta y = x.
El método de intercambiar y despejar
- Escribe y = f(x).
- Intercambia cada x por y (e y por x).
- Despeja y en la nueva ecuación: esa y es f⁻¹(x).
- Comprueba componiendo: f(f⁻¹(x)) debe ser igual a x.
Ejemplo resuelto: invertir f(x) = 3x − 6
- Escribe: y = 3x − 6.
- Intercambia: x = 3y − 6.
- Despeja y: suma 6 → x + 6 = 3y, divide entre 3 → y = (x + 6)/3.
- Comprueba: f(f⁻¹(x)) = 3((x + 6)/3) − 6 = x + 6 − 6 = x ✓. La composición se reduce exactamente a x, así que la inversa está confirmada.
¿Quién tiene inversa?
Solo las funciones inyectivas (uno a uno) tienen inversa: ningún par de entradas puede compartir una salida. La comprobación rápida es la prueba de la recta horizontal: si alguna recta horizontal cruza la gráfica dos veces, la función no la pasa. Por eso x² no tiene una única inversa sobre todos los reales (restríngela a x ≥ 0 para arreglarlo), mientras que las raíces impares como ∛x están bien en todas partes.
Parejas inversas famosas
Las potencias se emparejan con las raíces, las exponenciales con los logaritmos (e^x ↔ ln x), y 1/x es su propia inversa. Reconocer las parejas ahorra álgebra.
Comprueba una inversa componiendo en ambos sentidos con nuestra calculadora de composición de funciones o resuelve el paso del intercambio con la calculadora de álgebra.