Cómo funcionan los criterios de convergencia de series
Una serie infinita Σa_n converge si sus sumas parciales se estabilizan hacia un número finito; en caso contrario diverge. Ningún criterio único maneja todas las series, así que los matemáticos construyeron una caja de herramientas. La estrategia: prueba primero el criterio más barato y escala solo cuando resulte no concluyente.
La escalera de criterios
- Criterio del término n-ésimo: si a_n no tiende a 0, la serie diverge. (Pasarlo no demuestra nada.)
- Geométrica: Σar^(n−1) converge si y solo si |r| < 1, y suma a/(1−r).
- Serie p: Σ1/n^p converge si y solo si p > 1; la serie armónica (p = 1) es famosamente divergente.
- Criterio del cociente: si |a_(n+1)/a_n| → L < 1, converge; L > 1, diverge; L = 1, no concluyente.
- Criterio de la raíz: la misma lógica con |a_n|^(1/n); es el mejor para términos con potencias n-ésimas.
Las series son el motor detrás de los desarrollos de Taylor: consulta nuestra calculadora de series de Taylor.