Cómo funciona la composición de funciones
La composición encadena funciones como una línea de producción: g procesa primero x y luego f procesa la salida de g. La notación (f∘g)(x) se lee «f de g de x», y la función de la derecha siempre actúa primero.
Sustitución, no multiplicación
El error clásico es multiplicar las funciones en lugar de sustituir. Para f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², (f∘g)(x) sustituye cada x de f por x², y da 2x² + 1, no 2x³ + x².
El orden importa
(g∘f)(x) para la misma pareja es (2x+1)² = 4x² + 4x + 1: completamente distinto. Sustituye siempre en el orden que exige la notación, de dentro hacia fuera.
Ejemplo resuelto: evaluar (f∘g)(3)
Mantén f(x) = 2x + 1 y g(x) = x². Para encontrar (f∘g)(3), trabaja de dentro hacia fuera:
- Evalúa la función interior: g(3) = 3² = 9.
- Introduce ese resultado en f: f(9) = 2(9) + 1 = 19.
- Respuesta: (f∘g)(3) = 19, que coincide con sustituir primero: (f∘g)(x) = 2x² + 1, y 2(3²) + 1 = 19.
Cuidado con el dominio
Una composición solo está definida donde funcionan ambos pasos: x debe estar en el dominio de g, y g(x) debe estar en el dominio de f. Si g(x) = √x y f(x) = 1/x, entonces (f∘g)(x) = 1/√x falla en x = 0 aunque cada función esté bien en otros sitios: g(0) = 0 cae fuera del dominio de f. Cuando la calculadora devuelva una expresión, comprueba esos dos puntos antes de confiar en ella.
La composición es como se verifican las inversas: prueba nuestra calculadora de funciones inversas o simplifica las expresiones sustituidas con la calculadora de álgebra.