Cómo trabajar con polinomios
Los polinomios son los caballos de batalla del álgebra: sumas de términos con potencias como 4x³ − x + 9. El grado (el exponente mayor) te dice la forma de la gráfica y el número máximo de raíces.
Aritmética con polinomios
Sumar y restar es simplemente combinar términos semejantes entre ambos polinomios. Multiplicar significa distribuir cada término: FOIL es solo el caso especial de 2 términos de esta regla general.
A la caza de raíces
El teorema de la raíz racional reduce la búsqueda: toda raíz racional tiene la forma p/q, donde p divide al término constante y q divide al coeficiente principal. Prueba los candidatos: cualquier acierto es una raíz genuina.
Ejemplo resuelto: división sintética entre (x − 1)
Divide P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 entre (x − 1). Escribe los coeficientes 1, −6, 11, −6 y baja el valor de prueba 1:
- Baja el 1 → multiplícalo por 1, súmalo a −6 → −5.
- Repite: multiplica −5 por 1, súmalo a 11 → 6.
- Termina: multiplica 6 por 1, súmalo a −6 → 0.
El resto es 0, así que x = 1 es una raíz y el cociente x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) revela el resto: P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3), con raíces 1, 2 y 3.
Leer el comportamiento en los extremos
El término principal controla ambos extremos de la gráfica. Un grado par con coeficiente principal positivo (como x⁴) sube por ambos lados; un grado impar (como x³) baja a la izquierda y sube a la derecha; un coeficiente principal negativo invierte esos comportamientos. Conocer los extremos de antemano te dice si las raíces que encontraste pueden ser todas: un polinomio de grado impar debe cruzar el eje al menos una vez.
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