Cómo funcionan los logaritmos
Los logaritmos son exponentes al revés. Donde 10³ = 1000 pregunta «¿cuánto es 10 al cubo?», log₁₀(1000) = 3 pregunta «¿a qué potencia hay que elevar 10 para obtener 1000?». Toda pregunta exponencial tiene su pregunta logarítmica como imagen especular.
Las tres leyes de los logaritmos
- Producto: log(xy) = log x + log y
- Cociente: log(x/y) = log x − log y
- Potencia: log(x^n) = n · log x
Reglas del dominio
Solo puedes tomar logaritmos de números positivos, y la base debe ser positiva y distinta de 1. Por eso log(−5) y log₁(x) no están definidos: ninguna potencia de una base positiva da un número negativo.
Ejemplo resuelto: evaluar log₃(81)
- Reformúlalo como potencia: log₃(81) pregunta «¿a qué potencia hay que elevar 3 para obtener 81?»
- Cuenta las multiplicaciones: 3 × 3 × 3 × 3 = 81, así que 81 = 3⁴.
- Lee la respuesta: log₃(81) = 4. En la calculadora, escribe base 3 y valor 81, o usa la fórmula de cambio de base ln(81) ÷ ln(3) = 4 en cualquier dispositivo.
¿Qué base, cuándo?
La base 10 gobierna las escalas que los científicos usan para comprimir rangos enormes: el pH, la escala de Richter y los decibelios avanzan un paso por cada cambio de diez veces. La base e (ln) es el lenguaje del crecimiento y la desintegración: el interés compuesto, la vida media y el enfriamiento se simplifican con logaritmos naturales. La base 2 pertenece a la informática: log₂ te dice cuántos bits necesita un valor o cuántas veces puede una búsqueda binaria partir una lista por la mitad. Elige la base que coincide con el problema, no la que resulta estar en tu calculadora.
Los logaritmos deshacen las exponenciales: prueba la calculadora de exponentes o calcula potencias directamente en la calculadora científica.