ٹرگنومیٹری کیلکولیٹر

ٹرگنومیٹری کی ضروری باتیں

ٹرگنومیٹری مثلثوں میں زاویوں اور اضلاع کے تعلقات کا مطالعہ کرتی ہے۔ قائمہ مثلث کے لیے تین تناسب سارا کام کرتے ہیں: sin θ = مخالف/وتر، cos θ = ملحقہ/وتر، tan θ = مخالف/ملحقہ — یاد داشت SOH-CAH-TOA سے یاد رکھے گئے۔

یونٹ دائرہ

رداس 1 والے دائرے پر کسی بھی زاویے کے متناسقات بس (cos θ, sin θ) ہیں۔ 30°، 45°، 60° اور 90° پر درست قیمتیں مساوی الاضلاع مثلثوں اور مربعوں کو تقسیم کرنے سے آتی ہیں — وہ چار یاد کر لیں تو باقی تناظر سے نکال سکتے ہیں۔ اوپر والا جدول ہر معیاری زاویہ درج کرتا ہے۔

عملی مثال: گم شدہ ضلع معلوم کرنا

10 میٹر لمبی سیڑھی دیوار کے سہارے زمین سے 65° پر لگی ہے۔ پاؤں دیوار سے کتنی دور ہے؟ سیڑھی وتر ہے، زمین ملحقہ ضلع ہے، اور cos(65°) = ملحقہ / 10:

• تناسب چنیں: ہم وتر جانتے ہیں اور ملحقہ ضلع چاہیے → کوسائن۔
• مساوات بنائیں: ملحقہ = 10 × cos(65°)۔
• قیمت نکالیں: cos(65°) ≈ 0.4226، اس لیے ملحقہ ≈ 4.23 میٹر۔ اوپر والا جدول ہر معیاری زاویے کے لیے sin، cos اور tan درج کرتا ہے تاکہ آپ نمونہ چیک کر سکیں۔

اس کے بجائے زاویہ معلوم کرنا

جب اضلاع معلوم ہوں اور زاویہ گم ہو تو الٹ ٹرگ استعمال کریں: θ = sin⁻¹(مخالف / وتر)۔ 5 میٹر کا ڈھلان جو 3 میٹر اٹھتا ہے، زمین سے θ = sin⁻¹(3/5) ≈ 36.87° پر ملتا ہے۔ یہی وہ مرحلہ ہے جو جیومیٹری کے طلبہ سب سے زیادہ چھوڑتے ہیں — اوپر والا کیلکولیٹر sin⁻¹، cos⁻¹ اور tan⁻¹ کی براہِ راست قیمت نکالتا ہے، ڈگری یا ریڈین میں۔

ڈگری بمقابلہ ریڈین

ریڈین زاویوں کو قوس کی لمبائی سے ناپتے ہیں: مکمل دائرہ 2π ریڈین ہے۔ اس سے بدلیں ریڈین = ڈگری × π/180۔ احصا (sin اور cos کے مشتق، ٹیلر سلسلے) ریڈین میں ہی صاف کام کرتا ہے — ہمارا مشتق کیلکولیٹر دیکھیں۔