حد کیلکولیٹر

حدوں کی عددی قیمت کیسے نکالی جاتی ہے

حد پوچھتی ہے: جیسے جیسے x، a کے قریب ہوتا ہے، f(x) کس قیمت کے قریب ہوتا ہے — کبھی a کے برابر ہونے کی ضرورت کے بغیر؟ یہ ٹول ایک رسائی جدول بناتا ہے: یہ a ± 0.1، a ± 0.01، a ± 0.001 جیسے نقاط پر فنکشن کی قیمت نکالتا ہے اور دیکھتا ہے کہ آؤٹ پٹ کہاں ٹھہرتی ہیں۔ اگر بائیں اور دائیں طرف ایک ہی عدد پر ٹھہریں تو (تقریباً یقینی طور پر) وہی حد ہے۔

کلاسیکی 0/0 صورت

(x²−1)/(x−1) آزمائیں جب x → 1۔ براہِ راست تبدیلی 0/0 دیتی ہے، لیکن جدول قیمتیں 2 کی طرف بڑھتی دکھاتا ہے — گراف کا سوراخ حد سے «بھر» جاتا ہے۔ پہلے شمار کنندے کے اجزا بنانے سے، (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1، اس کی بالکل تصدیق ہو جاتی ہے۔

جب حدیں ناکام ہو جائیں

• چھلانگ: بائیں اور دائیں مختلف اعداد کی طرف جاتے ہیں — دو طرفہ حد موجود نہیں۔
• پھٹنا: قیمتیں عمودی غیر متماثل کے قریب بغیر حد کے بڑھتی ہیں — حد ±∞ ہے (یا محدود عدد کے طور پر موجود نہیں)۔
• ارتعاش: 0 کے قریب sin(1/x) کبھی نہیں ٹھہرتا — کوئی حد نہیں۔

حدیں مشتقات کی بنیاد ہیں — ہمارا مشتق کیلکولیٹر دیکھیں۔