سلسلہ ہم آہنگی کیلکولیٹر

سلسلہ ہم آہنگی جانچیں کیسے کام کرتی ہیں

لامحدود سلسلہ Σa_n اس وقت ہم آہنگ ہوتا ہے جب اس کے جزوی مجموعے ایک محدود عدد کی طرف ٹھہریں — ورنہ یہ بکھر جاتا ہے۔ کوئی ایک جانچ ہر سلسلے کو نہیں سنبھالتی، اس لیے ریاضی دانوں نے اوزاروں کا ڈبہ بنایا۔ حکمتِ عملی یہ ہے: پہلے سب سے سستی جانچ آزمائیں اور صرف اس وقت آگے بڑھیں جب وہ غیر حتمی واپس آئے۔

جانچوں کی سیڑھی

• nویں جزو جانچ: اگر a_n، 0 کی طرف نہ جائے تو سلسلہ بکھر جاتا ہے۔ (اسے پاس کرنا کچھ ثابت نہیں کرتا۔)
• ہندسی: Σar^(n−1) اسی وقت ہم آہنگ ہوتا ہے جب |r| < 1 ہو، مجموعہ a/(1−r) دیتا ہوا۔
• p-سلسلہ: Σ1/n^p اسی وقت ہم آہنگ ہوتا ہے جب p > 1 ہو — ہارمونک سلسلہ (p = 1) مشہور طور پر بکھر جاتا ہے۔
• تناسب جانچ: اگر |a_(n+1)/a_n| → L < 1 ہو تو ہم آہنگ؛ L > 1 ہو تو بکھرتا ہے؛ L = 1 ہو تو غیر حتمی۔
• جڑ جانچ: |a_n|^(1/n) کے ساتھ وہی منطق — nویں طاقتوں والے اجزا کے لیے بہترین۔

سلسلے ٹیلر پھیلاؤ کے پیچھے انجن ہیں — ہمارا ٹیلر سلسلہ کیلکولیٹر دیکھیں۔